<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <title>Numεrωmikωn</title>
    <link rel="stylesheet" href="../stock.css">
    <link rel="icon" type="image/x-icon" href="../favicon.ico">
    <meta content="text/html;charset=utf-8" http-equiv="Content-Type"/>
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
  </head>

  <body>
    <div class ="nav">
      <a href="../index">Indεχ</a>
      <a href="../clanky">Článκy</a>
      <a class="active" href="../googologie">Gωωgωlωgiε</a>
      <a href="../o_mne">Ω mně</a>
    </div>

    <div class="content-googology">
      <h1>Veblenovy funkce ~ <i>f<sub>φ<sub>ω</sub>(0)</sub>(n)</i></h1>

      <p>Nyní se naučíme vytvářet pevné body velkých nekonečných ordinálů rekurzivně.
      Prvně si popíšeme základy Veblenových funkcí:</p>

      <div class="math">
        <p>φ<sub>0</sub>(0) = 1</p>
        <p>φ<sub>0</sub>(γ) = ω<sup>γ</sup></p>
        <p>φ<sub>0</sub>(γ + 1) = ω<sup>γ + 1</sup> = ω<sup>γ</sup> * ω</p>
        <p>φ<sub>0</sub>(γ + 1)[n] = ω<sup>γ</sup> * n</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Takto se budou Veblenovy funkce chovat, je-li jejich spodní index <i>0</i>. Co kdybychom ale použili větší index?</p>

      <div class="math">
        <p>φ<sub>β + 1</sub>(0)[n] = φ<span class="supsub"><sup>n</sup><sub>β</sub></span>(0)</p>
        <p>φ<sub>β + 1</sub>(γ + 1)[n] = φ<span class="supsub"><sup>n</sup><sub>β</sub></span>(φ<sub>β + 1</sub>(γ) + 1)</p> 
        <p>φ<span class="supsub"><sup>0</sup><sub>β</sub></span>(γ) = γ</p> 
      </div>

      <p>------</p>

      <p>A ještě zbývají případy, kdy užijeme mezních ordinálů:</p>

      <div class="math">
        <p>φ<sub>β</sub>(γ)[n] = φ<sub>β</sub>(γ[n]), je-li γ mezní ordinál γ &lt; φ<sub>β</sub>(γ)</p>
        <p>φ<sub>β</sub>(0)[n] = φ<sub>β[n]</sub>(0), je-li β mezní ordinál β &lt; φ<sub>β</sub>(0)</p>
        <p>φ<sub>β</sub>(γ + 1)[n] = φ<sub>β[n]</sub>(φ<sub>β</sub>(γ) + 1), je-li β mezní ordinál</p>


      </div>
      
      <p>------</p>

      <p>Zápisy začínají vypadat opravdu složitě, ale nebojme se jich. Ukážeme si, jaký vztah tyto funkce mají k ordinálům, jež
      již známe: </p>

      <div class="math">
        <p>φ<sub>1</sub>(0) = ε<sub>0</sub></p>
        <p>φ<sub>1</sub>(α) = ε<sub>α</sub></p>
        <p>φ<sub>2</sub>(0) = ζ<sub>0</sub></p>
        <p>φ<sub>2</sub>(α) = ζ<sub>α</sub></p>
        <p>φ<sub>3</sub>(0) = η<sub>0</sub></p>
        <p>φ<sub>3</sub>(α) = η<sub>α</sub></p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Kdykoliv zvětšíme index o <i>1</i>, posuneme se na nový pevný ordinálový bod. Jak by to ale vypadalo, kdybychom to chtěli rozvinout?</p>

      <div class="math">
        <p>φ<sub>1</sub>(0) = sup{0, φ<sub>0</sub>(0), φ<sub>0</sub>(φ<sub>0</sub>(0)), ...}</p>
        <p>φ<sub>2</sub>(0) = sup{0, φ<sub>1</sub>(0), φ<sub>1</sub>(φ<sub>1</sub>(0)), ...}</p>
      </div>

      <p>Obecně tedy platí:</p>

      <div class="math">
        <p>φ<sub>α + 1</sub>(0) = sup{0, φ<sub>α</sub>(0), φ<sub>α</sub>(φ<sub>α</sub>(0)), ...}</p>
    </div>

    <p>------</p>

    <p>Kdybychom si převedli tyto posloupnosti na jednoduché ordinály, vyšly by nám věže jako <i>ω<sup>ω<sup>(...)</sup></sup></i> nebo
    <i>ε<sub>ε<sub>(...)</sub></sub></i>. Fundamentální posloupnost je stejná té, jíž jsme využili v <i>sup{}</i> pro daná čísla. Pro <i>ε<sub>0</sub></i>
    tedy <i>0, 1, ω, ...</i> a pro všechny další pevné body bychom využili <i>0, bod, bod<sub>bod</sub>, ...</i> druh posloupnosti.</p>

    <p>Co kdyby vstup byl složitější a chtěli bychom ntý prvek fundamentální posloupnosti?</p>

    <div class="math">
      <p>φ<sub>1</sub>(3)</sub>[2] = φ<sub>0</sub>(φ<sub>0</sub>(φ<sub>1</sub>(2) + 1))</p>
    </div>

    <p>Nyní musíme zjistit, který ordinál je <i>φ<sub>1</sub>(2)</i>:<p>

    <div class="math">
      <p>φ<sub>1</sub>(2) = sup{φ<sub>1</sub>(1) + 1, φ<sub>0</sub>(φ<sub>1</sub>(1) + 1), ...}</p>
    </div>

    <p>Tato řada by nám měla připomenout řady typu <i>sup{ε<sub>0</sub> + 1, ω<sup>ε<sub>0</sub> + 1</sup>, ...}</i>. Díky tomu, že jsme
      byli hyperkorektní při popisu fundamentálních posloupností nyní lépe rozumíme Veblenovým funkcím. U této řady jasně vidíme,
      že výsledek bude <i>ε<sub>2</sub></i>. Zkusme pokračovat ještě chvíli:</p>

    <div class="math">
      <p>φ<sub>1</sub>(3)[2] = φ<sub>0</sub>(φ<sub>0</sub>(ε<sub>2</sub> + 1))</p>
      <p>φ<sub>1</sub>(3)[2] = ω<sup>ω<sup>ε<sub>2</sub> + 1</sup></sup></p>
    </div>

    <p>------</p>

    <p>Kdyby <i>n</i> pokračovalo donekonečna, suprémum by byl <i>ε<sub>3</sub></i> neboli <i>φ<sub>1</sub>(3)</i>. Co kdybychom ale
    zkusili dát do indexu <i>ω</i> a stvořit tak nekonečnátý pevný bod?</p>

    <div class="math">
      <p>φ<sub>ω</sub>(0) = sup{φ<sub>0</sub>(0), φ<sub>1</sub>(0), φ<sub>2</sub>(0), ...}</p>
      <p>φ<sub>ω</sub>(0) = sup{1, ε<sub>0</sub>, ζ<sub>0</sub>, η<sub>0</sub>, ...}</p>
      <p>φ<sub>ω</sub>(1) = φ<sub>1</sub>(φ<sub>ω</sub>(0) + 1)</p>
      <p>φ<sub>ω</sub>(1) = ε<sub>φ<sub>ω</sub>(0) + 1</sub></p>
    </div>

    <p>------</p>

    <p>Co jsme to udělali? Využili jsme diagonalizační princip z rychle rostoucí hierarchie pro nekonečné ordinály. Věz, že
    <i>φ<sub>ω</sub>(0)</i> v rychle rostoucí hierarchii poroste šíleně rychle. Pokud se divíš, že v <i>φ<sub>ω</sub>(1)</i> se
    opět vyskytuje <i>ε</i>, všimni si, že jsme opět využili <i>+ 1</i>, aby ordinál <i>φ<sub>ω</sub>(0)</i> nepohltil <i>ε</i>.</p>

    <p>Zkusme se podívat, jak to bude vypadat v rychle rostoucí hierarchii:</p>

    <div class="math">
      <p>f<sub>φ<sub>ω</sub>(0)</sub>(3) = f<sub>φ<sub>ω</sub>(0)</sub>(f<sub>φ<sub>ω</sub>(0)</sub>(f<sub>η</sub>(3)))</p>
    </div>

    <p>------</p>

    <p>Nikdy bychom neměli vůbec šanci vypsat ordinálový postup k <i>0</i> z <i>f<sub>η</sub>(3)</i>! Toto číslo by pak
    určovalo, kolikátý pevný bod bychom využili v indexu další funkce! Není možné si uvědomit ani představit, jak
    ohromně rychle tato funkce roste. Pomůže nám pomalu rostoucí hierarchie?</p>

    <div class="math">
      <p>g<sub>φ<sub>ω</sub>(0)</sub>(n) ~ f<sub>ω</sub>(n)</p>
    </div>

    <p>------</p>

    <p>Již sama posloupnost ordinálů roste nepředstavitelně rychle! Ale stále jsme se nedostali k bodu, kdy pomalu rostoucí hierarchie
    dosáhne růstu <i>f<sub>ε<sub>0</sub></sub></i>, kam se v budoucnu dostaneme, ale uvědom si podstatu skutečnosti, že využíváme rychle rostoucí hierarchii, abychom
    popsali tu pomalu rostoucí! Dále si ukážeme vrchol Veblenových funkcí, slavný Feferman-Schütte ordinál.</p>
    </div>

    <footer>
      <p class="footer"><a class="silent" href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" target="_blank">Kristian Tichota (CC-BY-4.0)</a></p>
    </footer>
  </body>
</html>
